trasformazioni

LE ISOMETRIE

Come si possono muovere i punti del piano senza cambiare la forma e le dimensioni delle figure? Più precisamente vogliamo che, dopo aver eseguito il movimento, ogni coppia di punti del piano si trovi ad una distanza uguale a quella che aveva prima del movimento, anche se i punti potranno chiaramente occupare posizioni diverse da quelle di partenza. Un movimento di questo tipo viene detto isometria. 

  1. Le traslazioni o spostamenti in linea retta = scorrimenti
  2. Le rotazioni attorno ad un punto. Le riflessioni rispetto ad una retta (specchio): attenzione, una riflessione non è una rotazione nel piano, ma può essere pensata come una rotazione dello spazio.
  3. Le riflessioni con scorrimento, cioè le glissoriflessioni: ossia movimenti ottenuti applicando prima una traslazione e poi una riflessione (rispetto ad una retta parallela alla direzione di traslazione) o viceversa. Il movimento ottenuto non rientra tra i tre tipi precedenti.

SIMMETRIE

Chiamiamo simmetria di una figura una isometria che “conserva” la figura (nella sua posizione iniziale). Attenzione: in una simmetria i punti di una figura si muovono, ma vengono ad occupare posizioni già occupate da punti della stessa figura. 

I matematici definiscono la simmetria geometrica (che loro chiamano isometria) come un qualunque movimento che si ottenga mettendo insieme delle riflessioni. 

Due figure sono geometricamente simmetriche (o isometriche) se è possibile passare da una all’altra mediante una simmetria geometrica.
Ad esempio, le impronte dei piedi di un soldato sull’attenti sono simmetriche perché legate da una riflessione; se il soldato effettua un fianco-destro o un fianco-sinistro senza spostarsi, le impronte delle stesso piede sono legate da una rotazione; se invece il soldato è in marcia, le impronte dello stesso piede sono legate da una traslazione, e quelle di piedi diversi da una glissoriflessione. 

In teoria ci potrebbero essere 16 tipi di fregi, perché altrettante sono le possibili combinazioni di rotazioni, riflessioni orizzontali o verticali, e glissoriflessioni. In pratica, però, alcuni tipi sono impossibili: ad esempio non si possono avere riflessioni orizzontali e verticali senza rotazioni; analogamente, non si può avere una riflessione orizzontale senza una glissoriflessione (perché stiamo supponendo che ci sia una traslazione orizzontale).

In questo modo si dimostra che esistono esattamente 7 tipi diversi di fregi, che si possono esemplificare nel modo seguente:

FFFFFFF
TTTTTTT
ZZZZZZZ
EEEEEEE
HHHHHHH
bpbpbpbp
bdpqbdpq

La prima riga è lasciata invariata solo da una infinità di traslazioni, e la seconda riga da una infinità di traslazioni e di riflessioni: i loro rispettivi insiemi di simmetrie si chiamano gruppo ciclico infinito e gruppo diedrale infinito, e sono versioni infinitarie dei gruppi ciclici e diedrali finiti descritti in precedenza. A parte le traslazioni, la terza riga è lasciata invariata da rotazioni, la quarta da riflessioni orizzontali, la quinta da riflessioni orizzontali e verticali, la sesta da glissoriflessioni, e la settima da riflessioni verticali e rotazioni.

Il caso di due traslazioni riguarda non più righe ma pagine infinite, in cui si ripetono configurazioni bidimensionali di lettere: siamo questa volta in presenza di mosaici o piastrelle, usati per pavimentazioni o tappezzerie, e la classificazione di tutti i possibili tipi di simmetrie è analoga a quella appena vista per i fregi, benché molto più complicata. I possibili tipi questa volta sono 17, e quasi tutti sono stati usati sia dagli egizi che dagli arabi: gli esempi più noti e artistici si trovano nelle decorazioni moresche dell’Alhambra di Granada.

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